Propiedades del sonido

LAS PROPIEDADES DEL SONIDO

El término «sonido» tiene un doble sentido: por un lado se emplea en sentido subjetivo para designar la sensación que experimenta un observador cuando las terminaciones de su nervio auditivo reciben un estímulo, pero también se emplea en sentido objetivo para describir las ondas producidas por compresión del aire que pueden estimular el nervio auditivo de un observador. Acústica es la parte de la física y de la técnica que estudia el sonido en toda la amplitud, ocupándose así de su producción y propagación, de su registro y reproducción, de la naturaleza del proceso de audición, de los instrumentos y aparatos para la medida, y del proyecto de salas de audición que reúnan cualidades idóneas para una perfecta audición. Como rama de la física, la acústica culminó su desarrollo en el siglo XIX, gracias sobre todo a los trabajos de Hermann von Helmholtz y de lord Rayleigh, y sus bases teóricas han permanecido prácticamente sin cambios desde finales de ese siglo. Sin embargo, desde el punto de vista técnico, a lo largo del siglo XX los progresos de la acústica han sido constantes, especialmente por lo que se refiere a sistemas para el registro y la reproducción del sonido.

El sonido se produce por la vibración de los cuerpos, la cual se transmite al aire que los rodea y, a través de éste, llega hasta nuestros oídos.

Dos experimentos muy sencillos permitirán confirmar estas aseveraciones.

1) Se disponen dos panderetas, próximas una frente a otra. De una de ellas se suspende un pequeño péndulo. Al golpear la otra, el péndulo comienza a vibrar.

2) Dentro de una campana en la que se ha hecho el vacío, se coloca un despertador: cuando se dispare la alarma no se oirá ningún sonido.

El experimento 1) demuestra que el sonido se produce por la vibración de un cuerpo, mientras que el experimento 2) demuestra que para que el sonido se transmita debe existir un medio elástico a través del cual se puedan propagar las vibraciones que lo originaron. Ese medio elástico es normalmente el aire, pero puede ser cualquier otro gas, un líquido o un sólido.

Cuando una onda sonora llega al tímpano del oído, éste entra en vibración y su vibración se transmite a los huesecillos que se apoyan suavemente sobre él. Es una situación del todo similar a la del experimento con dos panderetas dispuestas una frente a otra que habíamos propuesto.

Los instrumentos musicales ilustran perfectamente la variedad de cuerpos cuya vibración puede dar origen a un sonido. Esencialmente, en los instrumentos de viento, lo que vibra es la columna de aire contenida en el instrumento; en los instrumentos de cuerda, lo que vibra son las cuerdas del instrumento; y en los instrumentos de percusión lo que vibra es un diafragma o bien un objeto metálico (unos platillos, por ejemplo).

Para estudiar el sonido en una dimensión, usaremos el trazado de una forma de onda sinusoidal simple.  La figura A es una onda sinusoidal.

Amplitud.

La primera propiedad que una onda de sonido ha de tener es la amplitud. Subjetivamente, la intensidad de un sonido corresponde a nuestra percepción del mismo como más o menos fuerte. Cuando elevamos el volumen de la cadena de música o del televisor, lo que hacemos es aumentar la intensidad del sonido. La amplitud es la distancia por encima y por debajo de la línea central de la onda de sonido. La línea central es la línea horizontal, llamada cero grados. La flecha vertical  en la figura A denota la amplitud. La mayor distancia arriba y debajo de la línea central nos da el volumen del sonido.  (volumen es la palabra que se utiliza en los amplificadores de sonido) Si trabajáramos con estaciones o editores de audio digital, lo llamaríamos amplitud. Los displays de las estaciones de trabajo muestran el sonido grabado como una onda de sonido izquierda y derecha. Las ondas izquierda y derecha (denotan estéreo) se presentan en dos cajas o huecos rectangulares uno al lado de otro. Cuando se reproduce el sonido, el display se moverá y veremos el promedio del volumen de una compleja forma de onda. Si los puntos de luz o la aguja llegan al final de la escala, entonces habrá distorsión. Así, este display (en forma de aguja o de puntos luminosos) nos mostrará la amplitud de la onda y nos permitirá en todo momento saber cuando nos excedemos del volumen o cuando es inaudible.

Frecuencia.

La segunda propiedad es la frecuencia. Se mide en Hercios (Hertz, Hz) y nos permite saber a cuantos ciclos por segundo va esa onda. Un ciclo es cuando la onda sube hasta un punto máximo de amplitud, baja hasta atravesar la línea central y llega hasta el punto de amplitud máximo negativo y vuelve a subir hasta alcanzar la línea central. El tono o altura de un sonido depende de su frecuencia, es decir, del número de oscilaciones por segundo. El principio y el final de un ciclo se muestra por los números 1 y 2 de la figura A. Esta medida, que puede tener cualquier longitud, se conoce como longitud de onda y el número de veces que pasa esto en un segundo, se conoce como frecuencia de la onda. Cuanto mayor sea la frecuencia, más agudo será el sonido. Cuantos más ciclos por segundo, más elevado será el tono. Así, la frecuencia hace el tono. La altura de un sonido corresponde a nuestra percepción del mismo como más grave o más agudo. Esto puede comprobarse, por ejemplo, comparando el sonido obtenido al acercar un trozo de cartulina a una sierra de disco: cuanto mayor sea la velocidad de rotación del disco más alto será el sonido producido. Cada nota musical, tiene un valor en Hercios. Nosotros vemos las frecuencias representadas en nuestras mesas de mezclas o grabación como un conjunto. Así, en la sección EQ (ecualizadora) de la mesa podremos alterar una banda de frecuencias y elegir la que queramos aumentar y la que queramos disminuir. Conociendo como ciertas frecuencias afectan el sonido de un instrumento, podremos fácilmente ecualizar ese instrumento y cambiar su “personalidad”. Esto nos ayudará a mejorar el sonido gracias a la ecualización. Por ejemplo, entre 20Hz y 100Hz nos proporciona un fondo o cuerpo, entre 100Hz y 200Hz, calor, entre 500Hz y 1500Hz definición, entre 1500Hz y 4KHz articulación, entre 4KHz y 10KHz brillo y entre 10KHz y 20KHz expansión. El ingeniero utiliza las frecuencias como las pinturas de un cuadro sonoro.

Timbre.

El timbre es la cualidad del sonido que nos permite distinguir entre dos sonidos de la misma intensidad y altura. Podemos así distinguir si una nota ha sido tocada por una trompeta o por un violín. Esto se debe a que todo sonido musical es un sonido complejo que puede ser considerado como una superposición de sonidos simples. De esos sonidos simples, el sonido fundamental de frecuencia n es el de mayor intensidad y va acompañado de otros sonidos de intensidad menor y de frecuencia 2n, 3n, 4n, etc. Los sonidos que acompañan al fundamental constituyen sus armónicos y de sus intensidades relativas depende el timbre. Sin embargo, muchos instrumentos, tales como el piano, el arpa, etc., no emiten un único sonido musical que quepa considerar como una superposición de sonidos simples armónicos, sino que emiten un sonido constituido por superposición de sonidos parciales.

Para estudiar la altura del sonido se emplea el diapasón, barra metálica en forma de U que al vibrar produce un tono cuya altura depende de la longitud de los brazos y de la anchura, y es independiente del espesor. Si en el extremo de un brazo del diapasón se fija una aguja de escritura que se apoye sobre un papel, al acercar una fuente de sonido al otro brazo del diapasón, éste entra en vibración y la aguja registra sobre el papel la vibración.

Velocidad.

Esta es la propiedad más simple y precisa del sonido. La velocidad del sonido en un medio puede medirse con gran precisión. Se comprueba que dicha velocidad es independiente de la frecuencia y la intensidad del sonido, dependiendo únicamente de la densidad y la elasticidad del medio. Así, es mayor en los sólidos que en los líquidos y en éstos mayor que en los gases. En el aire, y en condiciones normales, es de 330,7 m/s.

Puede demostrarse que la velocidad de propagación de una onda longitudinal en un medio de densidad r y módulo de compresibilidad e viene dada por la fórmula:

Suponiendo que al propagarse una onda sonora en el aire tiene lugar una transformación isotérmica, es decir, regida por la ley de Boyle-Mariotte P·V = cte., será:

de donde . Esta expresión coincide con la definición del módulo de compresibilidad, por lo que, en este caso, es e = P. Sustituyendo ese valor en la expresión de la velocidad de una onda longitudinal llegamos a la fórmula de Newton para la velocidad del sonido en el aire:

Como en condiciones normales es P =101 325 Pa y r = 1,293 kg/m3, sustituyendo valores en la fórmula se obtiene v = 280 m/s, valor que difiere bastante del experimental.

Laplace corrigió a Newton razonando que, como las compresiones y dilataciones son muy rápidas, no hay tiempo para que se produzcan cambios de calor, o sea, que la transformación es adiabática en lugar de isotérmica. En este caso la relación entre la presión y el volumen del gas es P·Vg = cte., donde g es una constante característica de cada gas, que en el caso del aire vale 1,4. A partir de esta relación se llega a:

que da un valor de v = 331 m/s, muy próximo al valor experimental.

Longitud de Onda.

El sonido es un movimiento ondulatorio que se propaga a través de un medio elástico, por ejemplo el aire. Su origen es un movimiento vibratorio, tal como la vibración de una membrana, y cuando llega a nuestro oído hace que el tímpano adquiera un movimiento vibratorio similar al de la fuente de la que proviene.

Para visualizar la propagación por ondas puede pensarse, por ejemplo, en el movimiento que se origina cuando se sacude una alfombra aguantándola verticalmente: el movimiento se origina a la altura de las manos pero las ondulaciones se van repitiendo a lo largo de toda la alfombra. Asimismo, si se arroja una piedra en la superficie de un estanque de aguas tranquilas, se observa que en el punto en que ha caído la piedra se origina un movimiento ondulatorio que se propaga en todas direcciones, es decir, en forma de círculos concéntricos, de manera que dos puntos cualesquiera que se encuentran a la misma distancia del punto en que cayó la piedra (foco del movimiento ondulatorio) entran en vibración al mismo tiempo y vibran con la misma amplitud.

Una onda es una perturbación física que se propaga en un determinado medio. Dicha perturbación consiste en la variación local de una magnitud escalar o vectorial determinada. El conjunto de fenómenos físicos que constituyen movimientos ondulatorios es muy amplio, ya que, aparte del sonido, son ondas la luz, los movimientos sísmicos, las ondas hertzianas, etcétera.

Los movimientos ondulatorios pueden ser transversales o longitudinales. En una onda transversal la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación de la onda, mientras que en una onda longitudinal la perturbación tiene la misma dirección que la propagación.

Son ondas transversales las que recorren una cuerda tensa cuando la pulsamos o las que se propagan por una alfombra cuando la sacudimos. Los puntos de la cuerda pulsada tienen un movimiento de vaivén pero no se desplazan. La onda transporta energía, no materia, y la perturbación que provoca en la cuerda es perpendicular a la dirección en que avanza el movimiento ondulatorio. La onda que se forma cuando arrojamos una piedra en un estanque es una onda superficial de tipo transversal: si observamos un corcho flotando en el agua vemos que, al llegar la onda hasta él, el corcho sube y baja sin moverse de sitio.

Para visualizar las ondas longitudinales podemos realizar el siguiente experimento. Tomamos un muelle largo y lo sujetamos por ambos extremos; comprimimos un grupo de espiras abatiéndolas con una cuerda; las demás espiras estarán entonces más separadas de lo que estaban antes. Se dice que el grupo de espiras ab forman una compresión, mientras las restantes forman una dilatación. Si quemamos la cuerda, las espiras comprimidas se expansionarán, moviéndose hacia la derecha y obligando a comprimirse a las espiras vecinas. Ocurre así que donde antes había una compresión ahora hay una dilatación, y donde había una dilatación ahora hay una compresión. La compresión se va moviendo hacia la derecha hasta alcanzar el extremo derecho del muelle y después vuelve en sentido contrario. Al mismo tiempo, las espiras del grupo ab que inicialmente habíamos comprimido, después de haberse expansionado hacia la derecha se vuelven a comprimir hacia la izquierda, con lo que en el extremo izquierdo del muelle vuelve a existir una compresión, y esta compresión volverá a propagarse hacia la derecha, como ocurrió con la compresión inicial Así, al poco tiempo todo el muelle se halla recorrido por una sucesión continua de compresiones y dilataciones. En este movimiento ondulatorio, la perturbación (la compresión) y la propagación tienen la misma dirección. Estamos pues ante un movimiento ondulatorio longitudinal. El sonido es un movimiento ondulatorio de este tipo: la perturbación es en este caso la presión del aire. Podemos considerar el aire como formado por distintas capas de moléculas yuxtapuestas. Cada una de estas capas vendría a ser el equivalente de una espira del muelle de nuestro ejemplo. El aire constituye un medio elástico de manera que las variaciones de la presión se transmiten por él como las compresiones y dilataciones lo hacen por el muelle.

En los sólidos se pueden propagar indistintamente las vibraciones longitudinales y transversales, pero en los fluidos perfectos, donde el deslizamiento de una capa de fluido en la dirección de su superficie no engendra ninguna fuerza que tienda a desplazar los planos próximos, la propagación de las ondas transversales es imposible, por lo que sólo pueden propagarse las ondas longitudinales.

Conceptos fundamentales del movimiento ondulatorio

Vamos a definir algunos conceptos necesarios para el estudio del movimiento ondulatorio.

Velocidad. Es el espacio que avanza la onda por unidad de tiempo. La velocidad de un movimiento ondulatorio depende del tipo de onda de que se trate y del medio por el que se propague.

Período. Es el tiempo que tarda una partícula en efectuar una oscilación completa. Por ejemplo, si tenemos un corcho flotando en el agua que es alcanzado por una ola (onda superficial transversal), el período es el tiempo que tarda el corcho en subir y bajar, hasta volver a la misma posición en que se encontraba antes de ser alcanzado por la onda. Se representa por T.

Frecuencia. Es el número de oscilaciones completas que realiza una partícula por unidad de tiempo. Se mide en hertz o hercios (símbolo, Hz), siendo un hertz igual a una oscilación completa por segundo. Se representa por la letra griega n. De acuerdo con la definición de período, como una oscilación dura T segundos, en un segundo habrá 1/T oscilaciones, por lo tanto:

Es decir, que la frecuencia es el valor inverso del período.

Concordancia de fase. Se dice que dos puntos de un medio elástico por el que se propaga una onda están en concordancia de fase si, en un instante determinado, los dos ocupan posiciones idénticas y se mueven del mismo modo (hacia arriba o hacia abajo). Los puntos A y B están en concordancia de fase, pero no así el C, puesto que aunque se encuentra a la misma altura está bajando en lugar de subiendo como el A y el B.

Longitud de onda. Es la distancia entre dos puntos consecutivos cualesquiera que se encuentran en concordancia de fase. Se representa por la letra griega l y equivale a la distancia que avanza la onda en el tiempo T. Por lo tanto, y puesto que las ondas se mueven con velocidad constante, será:

En el movimiento ondulatorio, el período T es el tiempo que tarda la onda en recorrer un espacio igual a la longitud de onda. El período del movimiento ondulatorio coincide con el período de oscilación de las partículas.

Amplitud. Es la separación máxima que alcanza cada punto del medio respecto a su posición de equilibrio. Se representa como A. En el ejemplo del corcho flotando en el agua, la amplitud sería la altura máxima que alcanzaría en su movimiento de vaivén.

Superficie de onda. Es una superficie formada por todos los puntos que han sido alcanzados simultáneamente por la onda y se encuentran en concordancia de fase.

Frente de onda. Es el perfil de una porción limitada de una superficie de onda.

Representación gráfica de un movimiento ondulatorio

Para un movimiento ondulatorio con foco en un punto P, todos los puntos del medio por el que se propaga que disten de P una longitud de onda se encontrarán en concordancia de fase y lo mismo ocurrirá con los puntos cuya distancia al foco P sea de 2, 3, 4, ..., longitudes de onda.

Cada uno de estos conjuntos de puntos constituye así una superficie de onda. Si el medio es homogéneo e isótropo, estas superficies de onda son esferas concéntricas con centro en P, siendo la distancia entre dos de ellas consecutivas igual a la longitud de onda.

De acuerdo con esta representación, cuanto más pequeña sea la longitud de onda más próximas se hallarán las superficies de onda, es decir, las esferas concéntricas (o las circunferencias concéntricas si el movimiento ondulatorio se propaga por un medio plano).

Para determinar la forma como se propaga un movimiento ondulatorio es preciso establecer:

-amplitud de la vibración que tiene un punto en función de su distancia al foco emisor;

-estado de vibración en que se encuentra, en cada instante, un punto cualquiera del medio que ha sido alcanzado por la onda.

Energía en el movimiento vibratorio

Como paso previo para el estudio de cómo varía la amplitud de la vibración con la distancia al centro emisor, hallaremos ahora cuál es la energía de un punto material en un movimiento vibratorio u oscilatorio armónico. Empezaremos por considerar su energía cinética; partiendo de la fórmula y sustituyendo v por la expresión de la velocidad a que habíamos llegado cuando estudiamos el movimiento armónico, v = -(2p/T)·A·sen (2p/T)·t, tendremos:

En todo instante, la energía total del punto material será la suma de su energía cinética más su energía potencial, E = Ec + Ep.

Las energías cinética y potencial van variando con t y habrá instantes en que toda la energía del punto material será cinética e instantes en que la energía cinética será nula y toda la energía del punto material será potencial. Sin embargo, la energía total será constante. Por lo tanto, podemos conocer cuál es la energía total sin más que ver qué vale la energía cinética en un instante en que es máxima. Esto ocurre cuando el tiempo t toma un valor (t = 0, T/2, T, 3T/2...) tal que el ángulo (2p/Tt sea 0, p, 2p, 3p o, en general, np, ya que entonces el seno que aparece en la expresión de la Ec vale 1. Estos instantes en que la energía cinética es máxima son aquellos en que el punto material que oscila vuelve a pasar por su posición de equilibrio.

Por lo tanto, la energía total del punto material sometido a vibración será:

Variación de la amplitud de la vibración con la distancia

En un movimiento ondulatorio lo que se propagan no son las partículas vibrantes, ya que éstas vibran en posiciones fijas, sino el movimiento de las mismas, es decir, la perturbación. Como para vibrar las partículas necesitan energía, lo que realmente debe propagarse con una velocidad v es la energía precisa para esas vibraciones y, en un medio homogéneo e isótropo, dicha energía se propaga con la misma velocidad en todas direcciones. Por lo tanto, si consideramos capas esféricas de espesor , que corresponden al avance de la onda en un tiempo elemental , la energía de vibración de todas las partículas contenidas en una capa cualquiera será la misma con independencia del radio x. Si llamamos r a la densidad del medio, las masas existentes en dos capas cualesquiera de radios x1 y x2, serán:

Ahora bien, de acuerdo con la ecuación de la energía de una partícula material sometida a un movimiento oscilatorio, la energía total de las partículas vibrantes en cada una de esas capas será:

Como estas energías han de ser iguales (la energía se conserva), igualamos las dos expresiones y simplificamos para llegar a:

, de donde

Es decir, que en un movimiento ondulatorio las amplitudes de las vibraciones de los diferentes puntos del medio están en razón inversa a sus distancias al foco emisor.

Para regiones que están a grandes distancias del foco emisor, las superficies de onda se pueden considerar como planos y entonces se habla de ondas planas. En este caso, la amplitud permanece constante, ya que es A1/A2 = x1/x2 \\\177 1.

Ecuación de propagación de una onda plana

Se considera un punto, al que llamaremos foco, que oscila con amplitud A y período T engendrando un movimiento ondulatorio. La ecuación de propagación de ese movimiento ondulatorio deberá permitirnos conocer la ordenada y de un punto P de abscisa x en un instante t cualquiera.

Todos los puntos del medio que han sido alcanzados por la onda vibrarán de forma análoga pero con un cierto retraso, tanto mayor cuanto más alejado del foco se encuentre el punto. Considerando que la onda se propaga con una velocidad constante v, la abscisa x del punto y el tiempo t transcurrido deberán verificar la ecuación del movimiento uniforme, x = v·t, que nos interesa escribir en la forma t = x/v.

Como vimos l = v·T y, por tanto, v = l/T; sustituyendo en la expresión de t, será:

El punto P se moverá como el foco, pero con un cierto retraso; por consiguiente, considerando que el foco se mueve siguiendo la ley de un movimiento armónico de amplitud A:

la ecuación del movimiento del punto P se podrá obtener sólo con sustituir t por

en la expresión anterior. Tendremos pues:

Simplificando esta igualdad, se llega a:

Para la deducción de la ecuación de propagación se ha supuesto que, en el instante inicial (t = 0), el foco se hallaba en la posición de máxima elongación (y = A). Si en lugar de tomar el origen de tiempos en ese instante se hubiese tomado en el instante en que el foco estaba en su posición de equilibrio (y = 0), la ecuación sería:

La ecuación que hemos dado corresponde a una onda sinusoidal que se propaga hacia la derecha. Si la propagación fuese hacia la izquierda (abscisas negativas), la ecuación sería:

 

Las Interferencias.

Los fenómenos de interferencia se deben a la superposición local de ondas del mismo período y diferente fase. Antes de estudiar la interferencia de movimientos ondulatorios deberemos tratar la composición de movimientos vibratorios paralelos (misma dirección y mismo sentido) y del mismo período.

Composición de dos movimientos vibratorios del mismo período y paralelos

Si consideramos dos movimientos vibratorios paralelos de la misma frecuencia (mismo período):

                            

que actúan sobre un punto, de acuerdo con el principio de superposición de Bernoulli, el desplazamiento resultante será la suma de los dos desplazamientos parciales:

                       

que aplicando la descomposición del seno de una suma, será:

                       

Se pueden definir dos magnitudes A0 y j a partir de las dos igualdades siguientes:

                        

ya que dividiendo la segunda igualdad por la primera, se tiene:

                           

y elevándolas ambas al cuadrado y después sumándolas:

En función de A0 y j, el movimiento vibratorio resultante será:

                        

Es decir, será otro movimiento vibratorio del mismo período y cuya amplitud y fase estarán dadas por las fórmulas deducidas.

La amplitud será máxima cuando sea cos (j1 - j2) = 1, es decir, cuando j1 - j2 = 2kp; su valor en este caso será:

                         

Y la amplitud será mínima cuando sea cos (j1 - j2) = -1, es decir, cuando j1 - j2b = (2k + 1)p; su valor en este caso será:

                          

En el caso particular de que las amplitudes de los dos movimientos fuesen iguales (A1 = A2), la amplitud máxima del movimiento resultante sería el doble de una cualquiera de las dos amplitudes (A0 = 2A1 = 2A2), y la mínima sería nula (A0 = 0). Examinaremos ahora la interferencia de dos movimientos ondulatorios.

Máximos y mínimos de intensidad en la interferencia

Supongamos dos movimientos ondulatorios que tienen su origen en sendos focos cuyos estados vibratorios están en fase:

                                 

Si el punto en que queremos estudiar la interferencia está a una distancia x1 del primer foco y x2 del segundo, su estado vibratorio será la suma de los inducidos por los dos movimientos ondulatorios:

                               

Aplicando los resultados del apartado anterior, escribiremos:

siendo A2 = A12 + A22 +

La amplitud será máxima cuando sea:

es decir, cuando x2 - x1 = l. Entonces será A = A1 + A2, y en el caso particular A1 = A2, A = 2A1 = 2A2.

La amplitud será mínima cuando sea:

es decir, cuando x2 - x1 = (2k + 1)l/2. Entonces será A = A1 - A2, y en el caso particular A1 = A2, A = 0.

Así pues, llamando diferencia de marcha ax2 - x1, diríamos que la amplitud es máxima donde la diferencia de marcha de las dos ondas es un múltiplo entero de la longitud de onda (l, 2l, 3l...) y es mínima donde la diferencia de marcha es un múltiplo impar de la semilongitud de onda (l/2, 3l/2, 5l/2...).

Las ondas estacionarias se presentan cuando en un medio se propagan en la misma dirección pero sentido contrario dos ondas sinusoidales del mismo período y la misma amplitud.

Se trata, pues, un fenómeno de interferencia en el que la velocidad mínima es nula. La fase es la misma en todos los puntos y la velocidad varía de unos puntos a otros; es nula en los puntos llamados nodos, que permanecen siempre en reposo, y es máxima en los vientres, que son los puntos equidistantes de dos nodos consecutivos.

 

Ondas estacionarias en una cuerda

Si tenemos una cuerda fija por sus dos extremos, tal como las cuerdas de un violín, cuando un tren continuo de ondas llega a un extremo de la cuerda, parece como si en dicho extremo se engendrase un tren continuo de ondas reflejadas que se propagan en sentido opuesto. Siempre que no se sobrepasen los límites de elasticidad de la cuerda y las elongaciones sean relativamente pequeñas, se cumplirá el principio de superposición.

Para una cuerda en la que se superponen un tren de ondas inicial y el tren reflejado, el resultado de la interferencia puede observarse en la figura, donde se aprecia que la forma de la cuerda es siempre una curva sinusoidal (excepto cuando es una línea recta).

 

Sin embargo, a diferencia de lo que ocurre en el movimiento de propagación de una onda, en el que la velocidad del movimiento ondulatorio permanece constante mientras que la onda avanza, en el caso de las ondas estacionarias la onda permanece fija en la misma posición mientras que la velocidad va variando.

Los extremos de la cuerda son puntos fijos, es decir nodos. Si la longitud de la cuerda es L es fácil ver, observando la figura, que la primera de las vibraciones tiene un longitud de onda de 2L, la segunda una longitud de onda de L, la tercera de 2L/3 y la cuarta de L/2. Así podemos concluir que las ondas estacionarias tienen una longitud de onda igual a 2L/n, donde n puede tomar los valores 1, 2, 3, 4, etcétera.

Teniendo en cuenta la relación entre la frecuencia y la longitud de onda, n = v/l (donde v es la velocidad con que la perturbación se propaga a lo largo de la cuerda y l la longitud de onda), las frecuencias que corresponden a esas longitudes de onda son: v/2L, 2v/2L, 3v/2L, ... La frecuencia más baja, v/2L se denomina frecuencia fundamental, mientras que las frecuencias restantes son los armónicos. Así pues, las frecuencias de los sucesivos armónicos son los sucesivos múltiplos de la frecuencia fundamental.

Ondas estacionarias en los tubos sonoros

Se denominan tubos sonoros los tubos cilíndricos o prismáticos, de paredes metálicas o de madera, que son capaces de producir sonidos al entrar en vibración la columna de aire que contienen. Esta vibración tiene su origen en la corriente de aire que se insufla por uno de sus extremos, que proviene de los pulmones del músico o, como en el caso del órgano, de un fuelle.

Los tubos pueden ser de embocadura de flauta o de embocadura de lengüeta. Los de embocadura de flauta pueden ser abiertos o cerrados (según que el extremo del tubo opuesto a la embocadura sea abierto o cerrado), mientras que los de lengüeta son siempre abiertos, para permitir la salida del aire insuflado.

En el caso de los tubos abiertos la frecuencia fundamental es v/2L, siendo L la longitud del tubo y v la velocidad del sonido en el aire. El tubo abierto puede emitir, además del sonido fundamental, la serie completa de todos sus armónicos, que tendrán las frecuencias n = nv/2L (con n = 2, 3, 4, etc.).

En el caso de los tubos cerrados, la frecuencia fundamental es v/4L. El tubo abierto puede emitir además del sonido fundamental la serie de los armónicos impares, que tendrán las frecuencias n = (2n – 1)v/4L (con n = 2, 3, 4, etc.).

 

Principio de Huygens Fresnel.

Cuando una onda se propaga en un medio, todos los puntos que son alcanzados por la onda adquieren un movimiento vibratorio análogo al que posee el foco del movimiento ondulatorio. Así, estos puntos vibrantes se convierten en focos de nuevos movimientos ondulatorios (ondas secundarias), que originan la vibración de los siguientes puntos del medio sin que intervenga el foco original del movimiento.

De acuerdo con el principio de Huygens, todo punto alcanzado por una onda puede ser considerado como centro de ondas secundarias, las cuales sólo son activas en el punto de contacto con la envolvente.

En la figura, si el punto F es el foco emisor, todos los puntos de una superficie de onda esférica tal como la AB pueden considerarse como centros de ondas secundarias. Estos puntos comienzan todos a vibrar al mismo tiempo, por lo que las ondas secundarias simultáneas tienen todas el mismo radio, y la nueva onda CD, envolvente de todas las ondas secundarias, es también esférica y tiene centro en F.

Cuando la propagación tropieza con un obstáculo se produce la difracción de la onda. Para explicar este fenómeno, Fresnel modificó el principio de Huygens afirmando que las ondas secundarias son activas en todos sus puntos, pero para valorar su efecto en un punto determinado es necesario tener en cuenta los fenómenos de interferencia a que dan lugar.

Si en su propagación la onda encuentra a su paso una pantalla D provista de un orificio A de dimensiones suficientemente pequeñas para que pueda suponerse que en la onda solo un punto podrá vibrar sin restricción, detrás de la pantalla se propagan ondas esféricas con centro en A, puesto que las ondas secundarias procedentes de todos los demás puntos de la onda S son detenidas por la pantalla.

                          

Para que se produzca este fenómeno de difracción es preciso que el orificio sea pequeño en relación con la longitud de onda del movimiento ondulatorio de que se trate. Si el orificio fuese una pequeña ranura, a causa de las interferencias, sólo dentro de un cono de vértice en F y base la ranura se propagarían las ondas como si su foco estuviera en F.

Supongamos una onda plana aa' que incide sobre una superficie plana fija AA'.

                                             

Construyamos las ondas secundarias de radio v·t que parten de aa'. La envolvente de las que provienen de puntos de la parte izquierda de aa' (parte ac) es la porción bO de la nueva onda. Las ondas secundarias provenientes de puntos de la parte derecha de aa' (parte ca') habrían llegado hasta la posición de los círculos de trazos si no hubiera estado presente la superficie AA'. Como no pueden penetrar esta superficie, en realidad se propagan en sentido inverso y su envolvente es la porción Ob' de la nueva onda.

El ángulo q  que forman la onda incidente aa' y la superficie (o la dirección de propagación de esa onda y la normal a la superficie) se denomina ángulo de incidencia; el ángulo q¿ que forman la onda reflejada Ob' y la superficie (o la dirección de propagación de esa onda y la normal a la superficie) es el ángulo de reflexión. Por ser iguales los triángulos Ob'a' y Oca' (son rectángulos y tienen en común el lado opuesto al ángulo recto), será q = q' (los ángulos de incidencia y de reflexión son iguales).

Ninguna superficie real es absolutamente rígida, sino que cede algo bajo la presión de la onda sonora incidente. Si además es porosa, el aire contenido en los poros entra en movimiento, con lo que se producen pérdidas en forma de calor. Así, en cualquier reflexión, parte de la energía transportada por la onda sonora es absorbida por la superficie.

Eco

El eco se produce cuando una onda sonora incide sobre un obstáculo y es reflejada por éste. Se origina así una nueva onda que parece provenir de detrás del obstáculo.

Cuando emitimos un sonido frente a una superficie reflectante próxima a nosotros, percibimos la onda emitida y la reflejada, pero no las podemos distinguir, ya que nuestro oído es incapaz de distinguir dos sonidos que nos llegan con una diferencia de tiempo menor que una décima de segundo. En cambio, percibiremos un eco si la reflexión se produce a más de 17 m de nosotros, ya que entonces el recorrido total de la onda será de al menos 34 m y, como el sonido se propaga en el aire a unos 340 m/s, la diferencia de tiempo para las ondas emitida y reflejada será al menos de 0,1 segundo.

Se denomina refracción el cambio continuo de dirección que experimenta el frente de una onda debido a la diferente velocidad de propagación de un punto a otro del medio. Consideremos una onda sonora plana aa' que se propaga por el aire, siendo el plano de la onda vertical y la dirección de propagación de izquierda a derecha.

                             

Si suponemos que en las capas más altas del aire la temperatura es más elevada, la densidad será menor y, por lo tanto, la velocidad de propagación (que es, ) será mayor. Las ondas de Huygens de la parte superior de la onda tendrán entonces un radio (v·t) mayor que en la parte inferior, por lo que la onda irá cambiando de dirección.

La intensidad I de una onda se define como la potencia media transportada por unidad de área a través de una superficie perpendicular a la dirección de propagación. Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor (ya que, si no hay pérdidas de energía, debe ser I1·4px12 = I2·4px22) y, por lo tanto, directamente proporcional al cuadrado de la amplitud (ya que, según vimos, A1·x1 = A2·x2). Su unidad en el S.I. es el W/m2, pero en la práctica se suele a medir en W/cm2.

Nivel de intensidad

El oído humano es sensible a un amplio intervalo de frecuencias (audiofrecuencias) e intensidades.

Los estudios fisiológicos han puesto de manifiesto una relación logarítmica entre la intensidad de un sonido y la intensidad de nuestra percepción del mismo, por lo que se prefiere medir la intensidad del sonido en una escala logarítmica. Así el nivel de intensidad b de una onda sonora se define por la ecuación:

                                                                                                                                                              

siendo I0 una intensidad arbitraria de referencia que se toma igual a 10-16 W/cm2, valor que corresponde al umbral de la sensación sonora.

El nivel de intensidad sonora se expresa en decibelios (símbolo, dB), siendo el nivel máximo que el oído humano puede tolerar de 120 dB, que corresponden a una intensidad de 10-4 W/cm2.

Si oímos pasar una ambulancia, el sonido de su sirena nos parece más agudo cuando el vehículo se acerca a nosotros que cuando se aleja. Esto es debido al efecto Doppler.

                   

Imaginemos el caso de un oyente fijo en el punto O y una fuente sonora S que se aleja de él con velocidad vs. En este caso, el número de ondas que llegan al oyente por segundo (n) es menor que la frecuencia del sonido emitido (n0), es decir, . Si la velocidad del sonido es v y la de la fuente sonora es vS, y la longitud de onda del sonido es l, será o bien, como l = v/n0, . Por lo tanto, será:

                            

Si, en lugar de alejarse, la fuente sonora se acercase al oyente, la fórmula sería la misma con el signo de vS cambiado, es decir, n = n0(v + vS)/v. El efecto Doppler también se produce si es el oyente el que está en movimiento.

De acuerdo con el teorema de Fourier, cualquier función periódica puede expresarse como suma de una serie de funciones seno y coseno (en casos particulares, sólo de senos o sólo de cosenos). La utilidad de este teorema estriba en que permite reducir el análisis del movimiento ondulatorio al de las ondas sinusoidales. Así, si tenemos un movimiento ondulatorio de ecuación y = f(x - v·t), es posible considerarlo formado por la superposición de los movimientos ondulatorios que corresponden a los términos de la serie trigonométrica en que podemos descomponer la función dada. Además, si no se conoce la ecuación del movimiento ondulatorio pero se dispone de una representación gráfica del mismo pueden determinarse sus componentes por medios mecánicos.

Como ejemplo de una serie de Fourier, la onda rectangular representada en la figura (a) puede obtenerse como suma de la serie:

y = A·sen x + 1/3 A·sen 3x + 1/5 A·sen 5x + ...

En la figura (b) se han representado los tres primeros términos de esta serie, y en la (c) su suma. Obsérvese que, con sólo sumar tres términos, la serie sinusoidal ya se aproxima a la forma de la onda dada.

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